Tagarchief: onvolledigheidsstelling

Vijf gangbare werkelijkheden – feiten en logica 6


De volgende ochtend drinken Carla, Man en Narrator koffie op een terras voor het Baptisterium San Giovanni [1] tegenover de Dom van Florence.

801px-Baptistry_Florence_Apr_2008[2]

“Ik heb vanmorgen over jouw inleiding tot de ontwikkeling van de wetenschap nagedacht. Het is een indrukwekkende samenvatting in beknoptheid en in diepgang. Op een punt zou ik een aanvulling wensen; volgens mij is de menselijke wetenschap veel eerder begonnen dan bij de zingeving en zinneming binnen rituelen om de overlevingskansen te vergroten. Ik denk dat de menselijke wetenschap begonnen is bij de eerste bewuste zinneming en zingeving aan geluid, gevoel, in de liefde, bij het opvoeden van kinderen. Ben jij het daar mee eens?”, vraagt Narrator aan Carla.

“Volkomen. Daarnaast ben ik ook voorbij gegaan aan het verschil tussen atomisme [3] – waarin alle feiten gebaseerd zijn op de kleinst mogelijke basiselementen, particularisme [4] – waarin feiten en logica dienen om het eigen belang te bevorderen boven (en zo nodig ten koste van) belangen van anderen, pluralisme [5] – waarin verschillende stelsels van feiten en logica naast elkaar bestaan binnen een evenwicht, en holisme [6] – waarin feiten en logica een samenhangend geheel vormen. Op particularisme hoop ik verder in te kunnen gaan bij een inleiding over het denkraam van de strijder. Ook ben ik voorbij gegaan aan de vele verkeerde voorstellingen van feiten en aan de drogredeneringen binnen een bepaald belang. Zal ik nu verder gaan met de geordende chaos – zowel gefragmenteerd als universeel?”, zegt Carla.

“Ik ben benieuwd naar jouw opmerking “gefragmenteerd en universeel”. Gisteravond heb ik in een andere context een tekst gelezen over de samenhang van beide onderwerpen”, zegt Man.

“Vul mij aan waar jullie dat nodig vinden. Eigenlijk van het begin van de wetenschap hebben mensen een orde in de chaos proberen te scheppen meestal door de werkelijkheid als een ideaal te bezien. Zaken die niet passen binnen het ideale denkkader – zoals wrijving, luchtweerstand en onwelgevallige godsdiensten en gebruiken –, werden als niet relevant zijnde buiten beschouwen gelaten, of werden te vuur en te zwaard bestreden zoals tijdens godsdienstoorlogen. Tegen het einde van de derde wetenschappelijke revolutie dachten natuurwetenschappers dat nog enkele hindernissen binnen de basiselementen van wetenschappelijke kennis – zoals kennis over de overdracht van de zwaartekracht en over de aard van licht – overwonnen moesten worden, voordat het paradijs van de alwetendheid betreden kon worden waarbinnen door de toepassing van de basiselementen alles kenbaar en verklaarbaar zou zijn. De Oostelijke deuren van het Baptisterium – of Porta del Paradiso [7] – zijn een mooie metafoor voor deze denkwereld.

feiten en logica 62[8]

Met kennis van deze panelen en de ontsluiting tot het onderlinge verband van deze panelen dachten wetenschappers de ontsluiting tot de paradijselijke alwetendheid te verkrijgen.

feiten en logica 63[9]

De geordende chaos – gefragmenteerd en universeel – verhinderde de toegang tot de paradijselijke alwetendheid met daarbinnen eenduidige herhaalbare voorspelbaarheid van feiten in onze leefwereld.

Met “geordende chaos” bedoel ik dat binnen bepaalde grenzen ieder mogelijk feit een bepaalde kans heeft om zich op een bepaald moment te manifesteren. Als voorbeeld neem ik een grazende koe in een afgebakende weide met net voldoende voedsel voor de koe: de koe graast binnen bepaalde grenzen (de weide en de rand die de koe met haar mond nog net kan bereiken); iedere graspol in de wei heeft een bepaalde kans om op een bepaald moment gegeten te worden; een voorbijvliegende vlinder kan het grazen van de koe veranderen waarna de koe een ander graaspatroon gaat hanteren; dit ander graaspatroon heeft op de lange tijd geen invloed op de algehele begrazing van de totale weide, maar het maakt een enorm verschil voor de levensduur van enkele graspollen in de nabijheid van de koe [10].

Met “gefragmenteerd en universeel” probeer ik aan te geven dat de gefragmenteerde geordende chaos zich manifesteert binnen een bepaalde omgeving – zoals de afgebakende weide voor de koe en zoals de sprinkhaan in een luciferdoosje [11] – en dat de universele geordende chaos zich afspeelt binnen het totale universum. “Gefragmenteerd en universeel” verhouding zich tot elkaar als de wolken, golven en oceaan tot het universele geordende samenspel en chaos binnen het totale universum. De wolken, golven en de oceaan zijn verschijningsvormen van de universeel geordende chaos, zoals het weer – met op korte termijn een goede voorspelbaarheid tot 4 dagen, en met een goede voorspelbaarheid over de lange termijn – ook een verschijningsvorm is van de universeel geordende chaos in de ruimte.

feiten en logica 64[12]

Met “eenduidige herhaalbare voorspelbaarheid van feiten” bedoel ik dat het verloop van feiten een zelfde uitkomst heeft bij een identieke uitgangspositie. In het leven van alledag bestaat er zelden een identieke uitgangspositie, dus een “eenduidige herhaalbare voorspelbaarheid van feiten” doet zich zelden voor. Wel zijn er vele uitgangsposities met soortgelijk kenmerken: deze situaties tonen geregeld een soortgelijke voorspelbaarheid van feiten, maar bij minieme verschillen in de uitgangsposities kan het verloop van de feiten een geordend chaotisch gedrag laten zien onder bepaalde omstandigheden.

Onder ideale omstandigheden begrenst de constante van Heisenberg [13] binnen de kwantummechanica [14] de nauwkeurigheid van de bepaling van de uitgangspositie en van de waarneming.

In 1931 heeft Gödel het formele bewijs van de twee onvolledigheidsstellingen [15] gepubliceerd [16]:

  • Als een systeem – bijvoorbeeld een systeem (of sprinkhaan) in een lucifersdoosje – consistent is, dan kan het systeem niet volledig zijn.
  • De consistentie van de axioma’s kan niet vanuit het eigen systeem bewezen worden.

De combinatie van de “geordende chaos”, de “beperking van waarnemingen binnen de kwantummechanica” en “waarnemingen die – binnen de relativiteitstheorie – afhankelijk zijn van de wijze van waarnemen” beperken de “eenduidige herhaalbare voorspelbaarheid van feiten”. De consistentie van logica wordt door de tweede onvolledigheidsstellingen van Gödel begrensd.

Door beide beperkingen was de ambitie van de derde revolutie in de wetenschap om onze leefomgeving eenduidig te kennen en beschrijven fundamenteel vastgelopen. Een deel van de logica nam afstand van de georganiseerde chaos van alledag: deze intuïtionistische [17] logica concentreerde zich verder op symbolen die voortkomen uit creatieve menselijk zingeving en zinneming. Een ander deel van de logica verbond aan de symbolen vooronderstellingen van de werkelijkheid als uitbreiding van de intuïtionistische logica – deze uitbreiding werd ook wel superintuïtionistische  logica genoemd. Klassieke logica was binnen de superintuïtionistische logica het sterkst samenhangende stelsel, waarmee de superintuïtionistische logica werd gezien als tussenliggend – of intermediair [18]  – tussen klassieke en intuïtionistische  logica. Via een omweg binnen een ander kader – symbolen komen in de plaats van rituelen – wordt hiermee nogmaals de impact van de eerste revolutie in de wetenschappelijk ontwikkeling van mensheid aangetoond.

Dit is mijn inleiding tot de georganiseerde chaos; ik hoop dat jullie mij hebben kunnen volgen”, zegt Carla.

“Indrukwekkend in alle opzichten. Als ik het goed begrijp kan de samenhang binnen een holistisch systeem niet vanuit het eigen systeem bewezen worden volgens de tweede onvolledigheidsstelling van Gödel. Dit houdt in dat de samenhang van het “Ene Alomvattende” niet vanuit zichzelf aangetoond kan worden”, zegt Man.

“Dat klopt binnen het denkkader van Gödel. Ik moet hieraan toevoegen dat Gödel zijn onvolledigheidsstellingen op een wiskundige wijze heeft bewezen met behulp van symbolen die niet noodzakelijkerwijze een duiding hebben binnen onze dagelijkse leefwereld.  Sommige natuurwetenschappers erkennen alleen symbolen en ideale omstandigheden als zuivere wetenschap. Eind jaren zeventig heeft Prof. Dr. W. Luijpen – hoogleraar wetenschapsfilosofie aan de Technische Hogeschool in Delft – tijdens hoorcolleges hierbij de volgende kanttekening geplaatst: “Uitsluitend symbolen en ideale natuurwetenschappelijke omstandigheden als wetenschappelijke werkelijkheid erkennen is een religieuze vaststelling. Religie is niet het vakterrein van natuurwetenschappers: deze erkenning is vooralsnog geen wetenschappelijke vaststelling”. In het verlengde van Popper en Kuhn sluit ik niet uit dat buiten de wiskunde – met haar wereld van symbolen – de twee onvolledigheidsstellingen van Gödel in bepaalde omstandigheden niet van toepassing blijken te zijn”, zegt Carla.

“Boeiende gedachten. Laten wij het Baptisterium San Giovanni van binnen gaan bezichtigen. Ik stel voor om later op jouw inleiding terug te komen”, zegt Narrator.

“Dat is goed”, zeggen Carla en Man.


[10] Bron metafoor: Stewart, Ian, Does God Play Dice? London: Penguin Books, 1992², p. 132

[11] Zie ook: Nārāyana, Narrator, Carla Drift – Een Buitenbeentje, Een Biografie. Omnia – Amsterdam Uitgeverij, 2012, p. 15 en p. 151 – 156

[15] Zie ook: Nārāyana, Narrator, Carla Drift – Een Buitenbeentje, Een Biografie. Omnia – Amsterdam Uitgeverij, 2012, p. 154

[16] Zie ook: http://en.wikipedia.org/wiki/Kurt_G%C3%B6del

Advertenties

Carla Drift – Terugblik op mijn onschuld


Voordat wij begonnen met de zoektocht naar “Wie ben jij” vertelde ik Narrator in het kort over mijn jeugd – de jaren van mijn onschuld.

“Er was er eens een meisje dat was zo slim dat zij overal een buitenbeentje was. Zij ging al de kennis van haar omgeving te buiten. Dit meisje was zo wijs om deze bijzondere gave aan niemand te laten zien. Zij had al heel jong ontdekt dat haar omgeving hierdoor volkomen in de war raakte. Heel af en toe liet zij een glimp zien van waaraan zij dacht.

Op de lagere school leerden de andere kinderen optellen, vermenigvuldigen en delen. Dit meisje rekende in het oneindig of in het ontelbare zoals zij dit noemde. Telbaar was alles wat binnen een doosje van het “kenbare” paste. Zij dacht hierbij aan het luciferdoosjes waarin zij vroeger een sprinkhaan had gevangen.

[1]

Toen de klas tot tien leerde tellen, was de inhoud van het luciferdoosje tien. Voor de klas was ontelbaar op dat moment “tien plus één”. Toen de klas tot honderd leerde tellen was vanaf dat moment het telbare honderd; honderd en één werd ontelbaar en zo voort voor zover de klasgenoten leerden rekenen.

Het telbare en dus het kenbare groeide mee met de kennis van de klas en het ontelbare werd steeds een groter. Dit meisje leerde dat het telbare – dus de inhoud van het luciferdoosje L – veranderde met de verandering van de omgeving. Het ontelbare was dan steeds L+1. Dit meisje ging het telbare optellen, dus voor de klas was L gelijk aan tien en het meisje besloot tien luciferdoosjes achterelkaar te plaatsen: dat maakte het telbare voor haar gelijk aan honderd; oneindig werd dan tien Luciferdoosjes plus 1. Zij plaatste honderd luciferdoosjes achter elkaar en het “honderd keer telbare van 10” werd dan 1000 en ontelbaar werd honderd doosjes plus 1. Zij deed hetzelfde met doosjes die steeds kleiner werden zoals Russische poppen. Oneindig klein was dan steeds een maatje kleiner dan het kleinst kenbare.

[2]

En nul was een lege tafel zonder een doosjes of poppetje. Zij schrijf dit als “O”. Dit was heel eenvoudig voor haar.

Dit meisje besloot voor de eenvoud oneindig te schrijven als L+1; dit was gelijk aan het grootste doosje of het grootst aantal kenbare doosjes plus 1.

Nu was het meisje zover dat zij oneindig of L+1 zag als een luciferdoosje van al het kenbare plus één. Zij begon in de eerste klas van de lagere school te rekenen met het oneindige, dat ook een buitenbeentje was dat buiten het kenbare viel. Voor oneindig golden dezelfde regels, maar het oneindige was steeds buiten het kenbare van de anderen: zo hield zij een band met de rekenlessen van haar klasgenoten. De tafels in het oneindige verliepen hetzelfde als de gewone tafels en hetzelfde gold voor delingen van het oneindige – een fluitje van een cent. Vergroot het kenbare en het oneindige is net iets groter; maak het kleinst kenbare nog kleiner en het oneindige kleine is net weer iets kleiner.

Het oneindige of L+1 was volgens haar op de Katholieke lagere school het bewijs voor het bestaan van God. God kon alle dimensies aannemen al naar gelang de omstandigheden dat noodzakelijk maakte, maar God zelf was groter dan het kenbare zodat hij alomvattend bleef. Als de veranderingen snel toenamen dan werd God ook snel groter en omgekeerd. En omdat God alomvattend was – dus L +1, nam God ook meteen de vereiste vorm aan. Zo differentieerde en integreerde zij al in de tweede klas van de lagere school. Het mooiste was dat God geen vreemde was, hij was net als zij een buitenbeentje. God had de mens (het kenbare) naar zijn evenbeeld geschapen – ook de buitenbeentjes zoals zij vielen met hem samen. Zij maakte het kenbare als buitenbeentje wel net iets groter. Later heeft zij haar kijk op God aangepast.

In de tweede klas van de lagere school las zij in een boek uit de bibliotheek – dat via haar vader was meegesmokkeld – over priemgetallen. Zij besloot de priemgetallen als luciferdoosjes te zien waarmee mooi gerekend kon worden. Volgens haar nieuwe rekenmethode waren de kerngetallen L, 2L, 3L, 5L, 7L, 11L, 13L, 17L, 19L en zo verder als priemgetallen. Met deze priemgetallen konden alle aantallen luciferdoosjes worden gemaakt [3].

In de vierde klas van de lagere school zag zij in de bibliotheek bij de afdeling wiskunde een boek staan over Gödel. In dit boek las zij de twee onvolledigheidsstellingen van Gödel [4]. Dit boek heeft zij via haar vader geleend. Door het benoemen van L+1 kende zij de eerste onvolledigheidsstelling en met haar nieuwe rekenmethode – waarbij zij de kerngetallen L, 2L, 3L, 5L, 7L, 11L, 13L, 17L, 19L volgens de reeks van priemgetallen gebruikte – zag zij meteen de tweede onvolledigheidsstelling; wij kunnen nooit de hele rekenkunde L bewijzen omdat er altijd een L+1 zal zijn. Dit bewijs is een fluitje van een cent.

Met opzet bleef zij een paar fouten in de staartdelingen [5] maken om niet op te vallen.

In de vijfde en zesde klas van de lagere school liet een nieuwe schoolmeester haar het boek van Kees Boeke’s “Wij in het heelal, een heelal in ons”  lezen. Met haar vader verdiepte zij zich in astronomie en microscopie. In haar eentje rekende zij de Keplerbanen uit. In een cursus theoretische fysica [6] zag zij op de TU-Delft in het deel mechanica haar berekeningen terug. Een van de twee auteurs was een buitenbeentje [7] op het gebied van wiskunde en natuurkunde.”

[8]

Na deze korte beschrijving van mijn jaren van onschuld op de lagere school, besloten Narrator en ik samen de zoektocht naar “Wie ben jij” te beginnen. Tijdens de voorbereidingen hebben wij Man Leben – na het overlijden van zijn tweede levensgezel – gevraagd om mee te gaan. “Met hoop en vertroosting” heeft hij de uitnodiging aanvaard.